Thó-lūn:Ho̍k-kiōng-tam

複共擔

佇數學中，一个複雜數$z$的複共擔（Hàn-jī: POJ；Eng-gí: complex conjugate）${\overline {z}}$嘛是一个複雜數。${\overline {z}}$的實部佮$z$相仝，${\overline {z}}$的虛部佮$z$平大，但是符號對反的數。徛算講，若準$a$佮$b$是實數，$z=a+bi$的複共擔就是${\overline {z}}=a-bi$。比論講，

${\textstyle {\overline {-4+3i}}=-4-3i}$

${\textstyle {\overline {8}}=8}$（實數的複共擔是伊家己）

${\textstyle {\overline {2i}}=-2i}$（純虛數的複共擔是伊的對反數)

咱若用著極座標表示，會使按呢定義複共擔：

${\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }$

其中伊的輻角符號對反。這會使用Euler公式來證明。

名稱

英語 conjugate源自Latin語的coniugāre（連做伙、牛擔），由con-（做伙）+ iugāre（接、縛、連）構成。

中國話共譯做「共軛」。日本話譯做「共役」。臺灣話就譯做「共擔」。

記號

複共擔的記號有兩種：vinculum ${\overline {z}}$佮星點$z^{*}$。

第1種數學較愛用。

第2種物理學、電機工程、電腦科學等等領域較愛用。

一般化

一个複行列的複共擔就是逐个要素攏共伊變做複共擔。比論講，

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2+3i&{\sqrt {3}}i\\1-0.5i&-6\end{pmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}2-3i&-{\sqrt {3}}i\\1+0.5i&-6\end{pmatrix}}.$

性質

對任何兩个複雜數$z$佮$w$, 咱有

• ${\overline {\left({\overline {z}}\right)}}=z$。
• ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$。
• ${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$。
• ${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$。
• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$，準講$w\neq 0$。
• $z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}$。
• $\left\vert {\overline {z}}\right\vert =\left\vert z\right\vert$。
• $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$，準講$z\neq 0$。
• ${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$，對所有的$n\in \mathbb {Z}$。
• $\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$。
• $\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}$，準講$z\neq 0$。

閣看

• Hermite共擔