複共擔 siu-kái

佇數學中，一个複雜數 $z$ 的複共擔（Hàn-jī: POJ；Eng-gí: complex conjugate） ${\overline {z}}$ ^[1]嘛是一个複雜數。 ${\overline {z}}$ 的實部佮 $z$ 相仝， ${\overline {z}}$ 的虛部佮 $z$ 平大，但是符號對反的數。徛算講，若準 $a$ 佮 $b$ 是實數， $z=a+bi$ 的複共擔就是 ${\overline {z}}=a-bi$ 。比論講，

{\textstyle {\overline {-4+3i}}=-4-3i}

{\textstyle {\overline {8}}=8}

（實數的複共擔是伊家己）

{\textstyle {\overline {2i}}=-2i}

（純虛數的複共擔是伊的對反數)

咱若用著極座標表示，會使按呢定義複共擔：

{\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }

其中伊的輻角符號對反。這會使用Euler公式來證明。

名稱 siu-kái

英語 conjugate源自Latin語的coniugāre（連做伙、牛擔），由con-（做伙）+ iugāre（接、縛、連）構成。

中國話共譯做「共軛」。日本話譯做「共役」。臺灣話就譯做「共擔」。

記號 siu-kái

複共擔的記號有兩種：vinculum ${\overline {z}}$ 佮星點 $z^{*}$ 。

第1種數學較愛用。

第2種物理學、電機工程、電腦科學等等領域較愛用。

一般化 siu-kái

一个複行列的複共擔就是逐个要素攏共伊變做複共擔。比論講，

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2+3i&{\sqrt {3}}i\\1-0.5i&-6\end{pmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}2-3i&-{\sqrt {3}}i\\1+0.5i&-6\end{pmatrix}}.

性質 siu-kái

對任何兩个複雜數 $z$ 佮 $w$ , 咱有

${\overline {\left({\overline {z}}\right)}}=z$ 。
${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ 。
${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$ 。
${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$ 。
${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ ，準講 $w\neq 0$ 。
$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}$ 。
$\left\vert {\overline {z}}\right\vert =\left\vert z\right\vert$ 。
$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ ，準講 $z\neq 0$ 。
${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$ ，對所有的 $n\in \mathbb {Z}$ 。
$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$ 。
$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}$ ，準講 $z\neq 0$ 。