Khó-ge̍k hâng-lia̍t

Tùi chi̍t ê $n$-kai sù-hong hâng-lia̍t $A$ lâi kóng, nā-chún ū chi̍t ê $n$-kai sù-hong hâng-lia̍t $B$ sú-tek

$AB=BA=I_{n}$,

lán tiō kóng $A$ sī khó-ge̍k hâng-lia̍t (Hàn-jī: 可逆行列, Eng-gí: invertible matrix), kî-tiong $I_{n}$ sī $n$-kai tan-ūi hâng-lia̍t, sêng-hoat sī it-poaⁿ ê hâng-lia̍t sêng-hoat; jî-chhiáⁿ chit ê $B$ sī î-it iû $A$ koat-tēng ·ê, lán tiō kā kiò-chò $A$ ê ge̍k hâng-lia̍t, kì-hō sī $A^{-1}$.

Hui-te̍k-ì hâng-lia̍t

Lán kóng, chi̍t ê hâng-lia̍t sī te̍k-ì hâng-lia̍t (Hàn-jī: 特異行列, Eng-gí: singular matrix) he̍k-chiá sī tòe-hòa hâng-lia̍t (Hàn-jī: 退化行列, Eng-gí: degenerate matrix) nā kiam taⁿ nā i ê hâng-lia̍t-sek téng-î lêng. Pí-lūn-kóng,

$A={\begin{pmatrix}3&4&7\\-1&-2&0\\1&0&7\end{pmatrix}}$

sī chi̍t ê te̍k-ì hâng-lia̍t, in-ūi $\det {A}=0$.

Lán ē-sái chèng-bêng kóng, chi̍t ê hâng-lia̍t sī hui-te̍k-ì hâng-lia̍t (Hàn-jī: 非特異行列, Eng-gí: nonsingular matrix) he̍k-chiá sī tòe-hòa hâng-lia̍t (Hàn-jī: 非退化行列, Eng-gí: nondegenerate matrix) nā kiam taⁿ nā i sī khó-ge̍k hâng-lia̍t. Chhiáⁿ khòaⁿ ē-bīn ê khó-ge̍k hâng-lia̍t tēng-lí.

Sèng-chit

Khó-ge̍k hâng-lia̍t tēng-lí

Lēng $A$ sī chi̍t ê tī thé K téng ê $n$-kai sù-hong hâng-lia̍t, í-hā sū-su̍t téng-kè:

1. $A$ sī khó-ge̍k hâng-lia̍t.
2. $A$ ū chi̍t ê tò-chhiú ge̍k (i.e. chū-chāi $B$ sú-tek $BA=I_{n}$), ia̍h $A$ ū chi̍t ê chiàⁿ-chhiú ge̍k (i.e. chū-chāi $C$ sú-tek $AC=I_{n}$); in tī lán chia kî-si̍t sio-kâng, lóng sī $A$ î-it ê ge̍k hâng-lia̍t (i.e. $B=C=A^{-1}$).
3. $A$ sī hui-te̍k-ì hâng-lia̍t.
4. $A$ sī hui-tòe-hòa hâng-lia̍t.
5. $\det {A}\neq 0$.
6. $A$ kap tan-ūi hâng-lia̍t $I_{n}$ chōa-téng-kè.
7. $A$ kap tan-ūi hâng-lia̍t $I_{n}$ khiā-téng-kè.
8. $A$ ū $n$ ê mn̂g-sún ūi-tì.
9. $A$ móa-kai, i.e. ${\text{rank}}(A)=n$
10. Hong-têng-sek $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ tú-tú hó ū chi̍t ê kái, sī bô-liâu kái $\mathbf {x} =\mathbf {0}$.
11. Tùi só͘-ū $\mathbf {b} \in K^{n}$, hong-têng-sek $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ lóng tú-tú hó ū chi̍t ê kái.
12. $A$ ê hu̍t sī bô-liâu ê, i.e. $\ker(A)=\{\mathbf {0} \}$.
13. $A$ ê khiā lóng sòaⁿ-sèng to̍k-li̍p.
14. $A$ ê khiā thí-khui $K^{n}$.
15. $A$ ê khiā khong-kan tiō sī $K^{n}$.
16. $A$ ê khiā cho͘-sêng $K^{n}$ ê chi̍t cho͘ ki-té.
17. Tùi $\mathbf {x}$ kàu $A\mathbf {x}$ ê sòaⁿ-sèng siá-siōng sī chi̍t ê tùi $K^{n}$ kàu $K^{n}$ ê siang-siā.
18. Sò͘-jī $0$ m̄ sī $A$ ê kò͘-iú-ta̍t.
19. $A^{T}$ mā sī khó-ge̍k hâng-lia̍t. (Só͘-í, $A$ ê chōa mā lóng sòaⁿ-sèng to̍k-li̍p, mā thí-khui $K^{n}$, mā cho͘-sêng $K^{n}$ ê chi̍t cho͘ ki-té.)
20. Ē-sái ēng iú-hān ê ki-pún hâng-lia̍t ê sêng-chek lâi piáu-sī $A$.

Kî-thaⁿ sèng-chit

Lēng $A$ sī chi̍t ê $n$-kai khó-ge̍k hâng-lia̍t, i koh ū ē-bīn kok-chióng sèng-chit:

• $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.
• $\left(kA\right)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ tùi hui-lêng sûn-liōng $k$
• $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$.
• $\det {A^{-1}}=\left(\det {A}\right)^{-1}$.

Nā $A$ sī ka-kī ê ge̍k hâng-lia̍t (i.e., $A=A^{-1}$) he̍k-chiá $A^{2}=I$, lán tiō kā $A$ kiò-chò tùi-ha̍p hâng-lia̍t.

It-poaⁿ sòaⁿ-sèng kûn

Só͘-ū ê $n$-kai khó-ge̍k hâng-lia̍t hām hâng-lia̍t sêng-hoat kap chò-hóe, ē chiâⁿ-chò chi̍t ê kûn, kiò-chò $n$-kai it-poaⁿ sòaⁿ-sèng kûn.